[DataScience] 선형변환이란?

 

 

 

안녕하십니까 다제입니다. 

 

오늘은 선형변환에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 

먼저 변환이란?

입력을 받고 결과물을 반환하는 그 무엇을 변환이라고 합니다. 

 

선형대수의 맥락에서 보자면

input vector를 넣으면 output vector나오지요

 

그러면 머하러 함수라는 말을 두고 변환이라는 말을 썼을까?

 

일단 시각적으로 볼때 변환이 선형적이다는 말을 두가지 속성을 의미한다. 

1) 모든 선들은 변환 이후에도 휘지 않고 직선이어야 하며

2) 원점은 변환 이후에도 여전히 원점이여야 합니다. 

3) 배수를 유지합니다. 

 

 

input vector가 output vector로 변화는지 알려면

두 개의 기저벡터가 어떻게 변하는지만 알면 해결이 됩니다. 

 

 

 

선형방정식 계라는 말은 

 

3x + 5y + 4z = 1

5x + 9y + 2z = 6

5x + 3y + 5z = 8

 

위와 같이 다항식이 여러개가 묶여있는 것을 말하고

여기에서 x,y,z를 찾는 것을 해를 찾다는다고 표현합니다. 

 

행렬 A가 있다고 가정해보겠습니다. 

 

이 행렬 A 변환의 시작은 

모든 공간을 더 낮은 차원의 선이나

점같은 공간으로 축소시키는지 

아니면 공간 전부가 그대로 남는지를 알아보아야 합니다. 

 

( 선형방정식 계를 풀기 위해 역변환을 사용한다..

그게 안된다면 열공간(cloumn space)이라는 개념이 해의 존재 여부를 알려준다..)

 

행력식이 0이 아니면 역행렬은 존재하고 그걸 다시 기존 행렬에 곱하면 1,01,0행렬이 나옵니다. 

그런데 행렬식이 0이면서 행렬변환이 차원 축소를 시킨다면 역행렬은 존재하지 않게 됩니다. 

 

역행렬이 없는 경우도 그 선형방정식 계의 해는 존재합니다. 

어떤 3차원 공간을 하나의 선으로 차원을 축소시켰다고

가정해보면 그 선형방정식 계의 해는 그 선위에 존재하게 되는 것이죠. 

 

즉 이렇게 행렬식이 0임에 따라

차원이 축소되는 경우를 명확하게 표현되며 

우리는 이를 rank라는 용어를 사용하기로 정의한 것입니다. . 

 

즉,

특정 차원에서 -> 1차원으로 차원이 축소되면 rank:1 이라고 한다. 

 

2차원으로 축소되면 rank는 2이라고 부르고

3차원으로 축소되면 rank는 3이라고 부르는 것입니다.

 

만약 열의 갯수와 rank수가 같다면 이를 full rank라고 부른다. 

 

그러면 rank의 의미를 이렇게 정의할 수 있습니다.

 

"행렬 변환으로 발생된 차원의 수" 캬 ~ 

 

 

저는 이부분을 깨닫고 소름이 돋았는데요~

이래 저래 하다보니 포스팅이 늦어졌습니다. 

 

늦게 올려드려 죄송하고, 

혹시 피드백 주실 부분이라던지

궁금하신 사항이 있으시면 댓글 부탁드립니다. 

 

 

감사합니다.